Activité n°5 {exp} : La poussée d'Archimède - [Chapitre : Pression et statique des fluides]

📄 Le théorème d'Archimède expliqué ⚓

La loi physique qu'Archimède a théorisé à partir du problème de la couronne^[*] s'énonce généralement avec ce théorème :

Définition :

« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d'Archimède. »

Question⚓

Q1. Expliquer les 3 mots ou groupes de mots en gras dans la définition précédente.

Solution ⚓

Q1.

Un « corps » désigne un objet solide d'un volume quelconque.
Un « fluide au repos » est un liquide ou un gaz immobile. Pour que la poussée d'Archimède puisse s'exercer, il faut en effet que le fluide et le corps soient, tout du moins théoriquement, au repos. Sans cela d'autres forces seront mises en œuvre : si un corps tombe d'une hauteur élevée, à cause de la gravité il va ainsi d'abord s'enfoncer dans l'eau avant de remonter.
Pour visualiser la « force verticale dirigée de bas en haut » dont il est ici question, il faut simplement imaginer que dans l'eau agit une force (contraire à la gravité, qui est une force verticale dirigée de haut en bas, à cause de laquelle les objets chutent), qui repousse les objets vers la surface.

Question⚓

Q2. Donner un exemple concret et visuel de la poussée d'Archimède que vous avez expérimenté plus jeune.

Solution ⚓

Q2.

Par exemple un ballon qu'on enfonce sous l'eau et qui remonte à la surface et jaillit même hors de l'eau.

Question⚓

Q3. En utilisant les informations précédentes, expliquer pourquoi un bateau plongé dans un fluide, l'eau de mer en l'occurrence, ne coule pas lorsqu'il est sur l'eau.

Solution ⚓

Q3.

Si ce bateau ne coule pas, jusqu'à toucher le fond de la mer, c'est parce qu'une force verticale agissant de bas en haut le maintient à la surface, et que cette force s'oppose à la force de la gravité, qui attire quant à elle le bateau vers le fond, en agissant de haut en bas.

Ainsi donc, en dépit du poids du corps, qui devrait le pousser à tomber, celui-ci reste en surface : il a atteint un parfait équilibre. Cela signifie tout simplement que le poids du corps est compensé par la poussée exercée par le fluide. C'est la poussée d'Archimède.

🔎 Origine de la poussée d'Archimède ⚓

Complément :

Forces pressantes et poussée d’Archimède

Parallélépipède de base \(S\) et de hauteur \(h\), plongé dans un liquide de masse volumique \(\rho_\text{liq}\).

📝 (facultatif) Démonstration ⚓

Attention :

Remarque : on ne doit pas considérer les forces pressantes sur les faces latérales, comme celles-ci se compensent mutuellement.

(à rédiger séparément)

Question⚓

En utilisant le schéma de droite du document précédent, exprimer :

la pression hydrostatique \(p_1\) et \(p_2\) à la profondeur \(h_1\) puis celle en \(h_2\) ;
les forces \(F_1\) et \(F_2\) exercées par le fluide à ses deux profondeurs ;
la différence de ces deux forces.

Comment appelle-t-on cette différence de forces ?

Solution ⚓

La face supérieure se trouve à une profondeur \(h_1\), la face inférieure à une profondeur \(h_2\ \left( =h_1 +h \right)\).

La pression hydrostatique à la profondeur \(h_1\), vaut : \(p_1=\rho_\text{liq} \times g \times h_1\)
En \(h_2\), vaut : \(p_2=\rho_\text{liq} \times g \times h_2\).
Le liquide exerce donc la force pressante ascendante \(\vec{F_2}\) sur la face inférieure telle que :
\(F_2=p_2\times S=\rho_\text{liq} \times g \times h_2 \times S\)
De même : La norme de la force pressante descendante \(\vec{F_1}\) exercée par le liquide sur la face supérieure vaut :
\(F_1=p_1\times S=\rho_\text{liq} \times g \times h_1 \times S\)
Comme \(F_2 > F_1\) , le corps est soumis à une force résultante \(\vec{F_A}= \vec{F_1} + \vec{F_2}\) dirigée vers le haut et de norme :
\[\begin{array}{rll} {\large F_A=F_2-F_1 } & {\large = \rho_\text{liq.dépl} \times g \times S \times \left(h_2-h_1 \right) } & \large { | \ \text{ or : } h_2-h_1=h }\\ & {\large = \rho_\text{liq.dépl} \times g \times S \times h } & \large { | \ \text{ or : } S\times h = V }\\ & {\large = \rho_\text{liq.dépl} \times g \times V } \end{array} \mathbf{ }\]

On retrouve la formule de l'expression de la poussée d'Archimède que nous verrons dans le prochain paragraphe.

On peut montrer que cette formule reste valable pour toute autre forme que pourrait avoir le corps immergé.

📌 Énoncé et formule mathématique ⚓

Définition : (À SAVOIR 📍)

Tout corps plongé dans un ﬂuide au repos reçoit de la part de ce dernier une force verticale ascendante égale au poids du volume de ﬂuide déplacé par le corps et appliquée au centre de gravité du volume de ﬂuide déplacé, appelée poussée d’Archimède.

\[{\fcolorbox{red}{white}{$ {\Large \ \ \ \mathbf{ F_A = P_\text{liq.dépl} } \ \ \ } $}} \]

Le volume du liquide déplacé est égal au volume du corps \(V_\text{liq.dépl}\).

Question⚓

Q5. Écrire la poussée d'Archimède en fonction du volume de fluide déplacé \(V\), de sa masse volumique \(\rho_\text{liq.dépl}\) et de l'intensité de pesanteur \(g\) ?.

Solution ⚓

Q5.

\[\begin{array}{rcl} {\large F_A } & = & {\large m_\text{liq.dépl} \times g } \\ \color{blue} {\large F_A } & = & \color{blue} {\large \rho_\text{liq} \times V_\text{liq.dépl} \times g } \end{array} \mathbf{ }\]

🏋🏻‍♂️ Petits exercices ⚓

💪 Exercice n°1 : Poussée d’Archimède sur un cube de fonte ⚓

Un cube de fonte de masse volumique \(\rho= 6\ 700\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) et a pour arête : \(80,0\ \mathrm{cm}\).

Question⚓

Q6. Déterminer la poussée d’Archimède exercée sur le cube entièrement immergé dans de l’eau de masse volumique \(\rho_\text{eau}=1\ 000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\).

Solution ⚓

Q6.

\(P_A = \rho_\text{fluide} \times g \times V_\text{imm.}\)

Le cube est entièrement immergé, donc son \(V_\text{imm.}\) correspond à son volume entier.

\(V_\text{imm.}= a \times a \times a = \left( a \right)^3 =0,8003^3 = 0,512 \ \mathrm{m^{3}}\)

\(P_A= 1\ 000 \times 9,81 \times 0,512 = 5,02\cdot 10^3\ \mathrm{N}\)

Question⚓

Q7. Déterminer le poids du cube.

Solution ⚓

Q7.

\(P = m \times g = \rho_\text{cube} \times V_\text{cube} \times g\)

\(P = 6\ 700 \times 9,81 \times 0,512 = 3,37 \cdot 10^4\ \mathrm{N}\)

Question⚓

Q8. En comparant les deux forces, justifier que le cube est effectivement entièrement immergé.

Solution ⚓

Q8.

\(P > P_A\). Le cube est donc bien entièrement immergé, il a coulé entièrement : l’hypothèse de départ est donc bien correcte.

💪 Exercice n°2 : Poussée d’Archimède sur un cube de bois ⚓

Un cube de bois de masse \(m = 600\ \mathrm{kg}\) a pour arête : \(1,0\ \mathrm{m}\).

Question⚓

Q9. Déterminer la poussée d’Archimède exercée sur le cube entièrement immergé dans de l’eau de densité \(1,01\).

Solution ⚓

Q9.

\(P_A = \rho_\text{fluide} \times V_\text{imm.} \times g\)

Le cube est entièrement immergé, donc son \(V_\text{imm.}\) correspond à son volume entier.

\(V_\text{imm.}= a \times a \times a = \left( a \right)^3 =1,0^3 = 1,0 \ \mathrm{m^{-3}}\)

\(P_A= 1\ 010 \times 9,81 \times 1,0= 9,9\cdot 10^3\ \mathrm{N}\)

Question⚓

Q10. Déterminer le poids du cube.

Solution ⚓

Q10.

\(P = m \times g = \rho_\text{cube} \times g \times V_\text{cube}\)

\(P = 600 \times 9,81 \times 1,0= 5,9 \cdot 10^3\ \mathrm{N}\)

Question⚓

Q11. En comparant les deux forces, justifier que le cube n’est que partiellement immergé à l’équilibre.

Solution ⚓

Q11.

\(P_A > P\) donc le cube remonte. Tant que le cube est entièrement immergé, il continu à remonter car \(P\) et \(P_A\) ne changent pas. Le cube commence donc à sortir de l’eau. Mais dès qu’il sort de l’eau, \(V_\text{imm.}\) diminue donc \(P_A\) aussi.

Tant que \(P_A > P\) , le cube continue à sortir de l’eau et \(V_\text{imm.}\) continue à diminuer, jusqu’à ce que \(P_A = P\). À ce moment, le cube flotte ne sort pas davantage de l'eau : il reste immobile.

Question⚓

Q12. Déterminer le volume immergé du cube.

Solution ⚓

Q12.

Lorsque \(P_A = P\), le cube flotte. Il en vient l’égalité suivante :

\(\rho_\text{fluide} \times g \times V_\text{imm.} = m \times g\)

\(\rho_\text{fluide} \times V_\text{imm.} = m\)

\(V_\text{imm.} = \dfrac{m} {\rho_\text{fluide}}= \dfrac{600} {1010}=0,594\ \mathrm{m^{3}}\)

💪 Exercice n°3 : Poussée d’Archimède sur un élément de tunnel sous-marin ⚓

D’après la vidéo sur la construction du tunnel sous-marin reliant Copenhague à Malmö, on peut noter les informations suivantes :

« La réalisation du tunnel nécessite la fabrication avec de l’acier et du béton, de 20 segments ; chacun d’une longueur équivalente à 2 terrains de foot, d’une hauteur équivalente à une maison de 3 étages et ayant une masse de 55 000 tonnes. »

Chaque élément a pour longueur \(L=176 \ \mathrm{m}\), largeur \(\ell=39 \ \mathrm{m}\) et hauteur \(h=8,5 \ \mathrm{m}\)
Chaque élément est obstrué par 2 panneaux d’acier chacun de masse \(m_a = 3\ \mathrm{t}\).
Masse volumique :
- du béton : \(2,2\cdot 10^3 \mathrm{kg\cdot m^{-3}} \) ;
- de l’acier \(7,5\cdot 10^3 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) ;
- de l’eau de mer \(1,03\cdot 10^3 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\).

Question⚓

Q13. Vérifier par le calcul, que chaque élément flotte effectivement dans l’eau de mer (une fois fermés par les 2 panneaux d’acier).

Solution ⚓

Q13.

Masse de chaque segment :

\(M = 55\ 000 \ \mathrm{t}\)

Calcul du poids d’un segment :

\(P = M \times g = 55\ 000\ 000 \times 9,81 = 5,4\cdot 10^8 \ \mathrm{N}\)

Calcul de la Poussée d’Archimède d’un caisson si on suppose qu’il est entièrement immergé :

\(P_A = \rho_\text{fluide} \times g \times V_\text{imm.}\) (\(V_\text{imm.}\) correspond à son volume entier).

\(V_\text{imm.} = 176 \times 39 \times 8,5 = 5,8\cdot 10^4 \ \mathrm{m^3}\)

\(P_A = 1030 \times 9,81 \times 5,8\cdot 10^4 =5,9\cdot 10^8 \ \mathrm{N}\)

Comparaison de P et de \(P_A\) :

On a \(P_A > P\) donc le segment n’est que partiellement immergé, il flotte.

Question⚓

Q14. Déterminer la hauteur d’immersion de chacun des éléments et vérifier que la profondeur de l’eau de mer est suffisante (\(8\ \mathrm{m}\) de tirant d’eau maximum).

Solution ⚓

Q14.

Calcul du volume immergé :

Lorsque \(P_A = P\), le cube flotte. Il en vient l’égalité suivante :

\(\rho_\text{fluide} \times g \times V_\text{imm.} = m \times g\)

\(\rho_\text{fluide} \times V_\text{imm.} = m\)

\(V_\text{imm.} = \dfrac{m}{\rho_\text{fluide} } =\dfrac{55\ 000\ 000}{1030 }=5,4\cdot 10^4 \ \mathrm{m^3}\)

Calcul de la hauteur immergé (autrement appelé le tirant d’eau) :

\(V_\text{imm.} = L \times \ell \times h_\text{imm.} = 176 \times 39 × h_\text{imm.}\)

\(h_\text{imm.} = \dfrac {V_\text{imm.} } {L\times \ell }= 7,9 \ \mathrm{m}\)

\(7,9 \ \mathrm{m} < 8 \ \mathrm{m}\), donc le segment peut flotter et naviguer sur le bras de mer.

🧪 Mise en évidence expérimentale ⚓

Attention : CCF

Les démarches utilisées dans cette expérience peuvent être demandées en CCF.

🧪 Expérience n°1 : Mesure de la Poussée d’Archimède (1ère méthode)⚓

Question⚓

Q15.

À l’aide du matériel à disposition et du protocole donné ci-dessous, réaliser le montage expérimental permettant de mesurer la valeur du volume de solide immergé \(V\text{imm}\).
Déterminer ensuite par le calcul la valeur de la Poussée d’Archimède \(P_A\) exercée par l’eau sur le corps immergé.

Données :

\(\rho_\text{eau}=1\ 000\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}\) ou \(\rho_\text{eau}=1,000\ \mathrm{kg\cdot L^{-1}}\)
\(g=9,81\ \mathrm{N /kg}\)

Protocole :

Dans une éprouvette graduée, introduire un volume \(V\) très précis d’eau (du robinet).
Noter ce volume : \(V =…………\)
Introduire dans cette éprouvette, une masse marquée retenue par un fil, de telle sorte que la masse soit entièrement immergée.
Noter la masse \(m = …………\)
Noter le nouveau volume d’eau contenu dans l’éprouvette \(V^\prime = …………\)
Déterminer la valeur du volume immergé \(V\text{imm}\) de la masse marquée, en précisant le calcul.
Noter le calcul et le résultat pour le volume \(V\text{imm} = …………\)
Déterminer la valeur de la Poussée d’Archimède \(P_A\) exercée sur le volume immergé.
Noter le calcul et le résultat pour le volume \(P_A = …………\)

Solution ⚓

Q15.

🧪 Expérience n°2 : Mesure de la Poussée d’Archimède (2ème méthode)⚓

Complément : Le dynamomètre

Un dynamomètre est un appareil constitué d’un ressort étalonné, qui mesure la force exercée à l’une de ses extrémités. Si on accroche un objet de masse \(m\), le dynamomètre affichera la valeur du poids \(\vec P\) de cet objet.

Question⚓

Q15.

À l’aide du matériel à disposition, notamment d’un dynamomètre, et du cours, proposer un protocole expérimental (celui-ci peut être avantageusement accompagné d’un schéma) permettant de déterminer d’une autre manière la valeur de la Poussée d’Archimède s’exerçant sur un objet immergé dans l’eau.
Réaliser ensuite ce protocole et exploiter vos mesures afin de déterminer la valeur de la Poussée d’Archimède \(P_A\) s’exerçant sur ce corps.

Glossaire

Le problème de la couronne résolu par Archimède
Le problème à résoudre
Pour comprendre en quoi consiste la poussée d'Archimède, il faut avant tout comprendre le problème dont le roi Hiéron II a confié la résolution au mathématicien : il s'agissait donc de vérifier si sa couronne était en or pur, en respectant deux contraintes : d'une part, procéder à cette vérification sans endommager l'objet, et d'autre part, obtenir une vérification extrêmement précise, afin d'être à même de déterminer si un autre métal a été utilisé, même en faible quantité.
Les solutions écartées
Archimède ne peut donc pas se livrer au test pragmatique qui nous vient immédiatement à l'esprit, c'est-à-dire vérifier si le métal utilisé est un alliage en le faisant fondre. Il doit imaginer une autre approche.
Peser la couronne à l'aide d'une balance, et comparer ce poids avec la quantité d'or qui a servi à sa fabrication est vain. Certes, la couronne et l'or donnés à l'orfèvre ont bien le même poids, mais rien ne prouve qu'une partie de l'or n'a pas été remplacée par un autre métal, dans des proportions permettant l'obtention d'un poids équivalent. Ce qu'il doit déterminer c'est la quantité d'or véritablement utilisée, et contrairement aux apparences, comparer le poids de la couronne avec celui de l'or qui a été confié à l'orfèvre pour la réaliser n'apporte pas une preuve irréfutable de ce que tout l'or a bien été utilisé dans la confection de ladite couronne. En effet, comparer un kilo d'or et un kilo d'un alliage ne prouverait en effet qu'une seule hypothèse, contenue dans l'énoncé : leur poids est égal. Pour que la preuve soit irréfutable, il faut que le volume occupé par le kilo d'or pur, et le volume occupé par le kilo de l'objet comparé soient égaux.
Archimède ne peut pas comparer le volume qu'occupe la couronne, et réunir le même volume en or pour comparer leur poids, car la couronne n'est pas un bloc de forme cubique, mais un artefact ciselé de manière complexe. Impossible de calculer avec précision le volume qu'elle occupe.
La solution du problème
La suite de ce qui n'est peut-être qu'une légende nous permet d'illustrer la solution géniale qui lui est apparue en fréquentant les bains publics. Alors qu'il entrait dans un bassin pour s'y baigner, Archimède aurait subitement, en observant l'eau déborder, conçu l'idée selon laquelle un corps pénétrant dans un fluide occasionnerait un déplacement d'eau correspondant au volume du corps immergé (c'est alors qu'il aurait quitté le bain entièrement nu en criant « Eurêka ! », c'est-à-dire « J'ai trouvé ! » en grec ancien).
Qu'est-ce que ce déplacement d'eau, que tout le monde peut vérifier empiriquement, signifie exactement ? Que l'on peut mesurer le volume exact de la couronne (souvenez-nous c'était chose impossible), simplement en mesurant le volume d'eau qui déborde d'un récipient dans lequel celle-ci serait immergée. Une fois ce volume connu, il suffit d'immerger l'or confié à l'artisan pour la création de la couronne, puis de voir si le volume d'eau qui a débordé est le même. Si les deux volumes sont égaux, la couronne est bien en or pur ; mais si les volumes d'eau diffèrent, si un volume d'eau supérieur s'écoule quand on plonge la couronne dans le récipient que quand on plonge l'or utilisé, cela signifie que le volume de la couronne est supérieur à celui du bloc d'or, et donc qu'elle a été façonnée dans un alliage.
Pourquoi cela ? C'est en fait très simple. Grossissons le trait en prenant un exemple plus parlant. Il suffit par exemple de visualiser un cube de plomb d'un kilo et un cube de polystyrène d'un kilo, pour immédiatement voir que le bloc de plomb représente un volume bien plus petit que le bloc de polystyrène. Certes le poids sera identique, mais le volume nécessaire pour atteindre ce poids sera dans les deux cas complètement différent. Tout simplement parce que la densité du plomb est largement supérieure à celle du polystyrène.
Or, ce constat fonde la notion de masse volumique, qui est simplement le rapport qu'entretiennent la masse et le volume, et dépend de la densité d'un matériau. Comme la densité de l'or est particulièrement élevée, si l'orfèvre chargé de la confection de la couronne a utilisé un autre métal, comme l'argent ou le cuivre, dont la densité est nettement inférieure, la couronne conçue dans un alliage occupera un volume supérieur à la couronne faite dans un métal pur.
Source : http://www.24-carats.fr/poussee-d-archimede.html