🏋🏻‍♂️ Activité n°2 (exp) : La loi de Wien - [Chapitre : Le rayonnement thermique]

🎯 Objectifs

② Exploiter les lois de Wien et de Stefan Boltzmann

💭 Problématique

Comment déterminer la température d’une étoile ?

🤔 Partie n°1 : Quelle est l’étoile la plus chaude dans l’amas ouvert M103 ? Réponse intuitive ⚓

Question⚓

Q1. Observer ci-dessous (ou sur le site des collections numériques) la photographie de l’amas M103 : c’est un groupe d’étoiles observable dans la constellation de Cassiopée. Intuitivement, quelle est l’étoile appartenant à cet amas, dont la température est la plus élevée ?

L'amas ouvert M103 – Crédit photo : Jim Mazur – Licence CC BY-SA 4.0 | Informations^[*]

Solution ⚓

Q1.

Intuitivement, l'étoile qui parait la plus chaude dans cet amas de galaxie est la géante rouge au centre. (Rouge = couleur chaude).

🔗 Partie n°2 : Lien entre température et rayonnement émis, approche expérimentale ⚓

🎯 Objectif

Le but de cette partie est d’étudier l’influence de la température d’un solide (ici le filament d’une lampe à incandescence) sur le rayonnement qu’il émet.

Méthode :

→ Réaliser le montage suivant :

Le rhéostat permet de modifier l’intensité du courant qui traverse la lampe : plus celle-ci est élevée, plus la température du filament est élevée. La lumière émise par la lampe est observée à travers un spectroscope ou analyse à l’aide d’un spectromètre à fibre.

Question⚓

Q2. Observer le spectre de la lumière émise par la lampe pour différentes températures de son filament et en déduire qualitativement comment ce spectre évolue lorsque la température augmente.

Question⚓

Q3. En admettant que ce que l’on observe pour le filament d’une lampe est généralisable à une étoile, répondre à nouveau à la question Q1. : Quelle est l’étoile la plus chaude dans l’amas M103 ?

🏋🏻‍♀️ Partie n°3 : Exploitation des lois de Wien et de Stefan-Boltzmann ⚓

Complément : 📌 Loi de Wien et Loi de Stefan-Boltzmann

Tout corps porté à une certaine température émet un rayonnement électromagnétique. On appelle « maximum d’émission » le rayonnement majoritairement émis, sa longueur d’onde est notée $\lambda_\textsf{max}$.

Le « corps noir » est un modèle pour décrire un objet qui absorbe et réémet en totalité le rayonnement qu’il reçoit.

La loi de Wien permet de relier la longueur d’onde du maximum d’émission du corps noir à sa température de surface $T$ (exprimée en kelvin). Elle s’énonce :
\[\definecolor{grisRGB}{RGB}{225, 225, 225} {\fcolorbox{red}{grisRGB}{$ \begin{array}{rcl} \large{ \mathbf{ \lambda_\textsf{max} = \dfrac{2,899\times 10^{-3}}{T} }} \end{array} $}}\]

La loi de Stefan-Boltzmann relie la puissance $P$ émise par le corps noir, sa surface extérieure $S$ et sa température :
\[\definecolor{grisRGB}{RGB}{225, 225, 225} {\fcolorbox{red}{grisRGB}{$ \begin{array}{rcl} \large {\mathbf{ P = S \times \sigma \times T^4 }} \end{array} $}}\]
$\sigma = 5,67\cdot 10^{-8} \ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}$ étant la constante de Boltzmann.

Complément : Domaine des ondes électromagnétiques

Question⚓

Q4. La température de surface du corps humain vaut $33\ \mathrm{^\circ C}$ en moyenne. En assimilant le corps humain au corps noir, exploiter la loi de Wien pour calculer la longueur d’onde correspondant au maximum d’émission par le corps humain.

Question⚓

Q5. À quel domaine d’ondes électromagnétiques appartient le rayonnement émis par le corps humain ?

En déduire le type de caméra ayant permis de produire l’image ci-dessous.

Une caméra de surveillance nocturne permet a permis de filmer une intrusion - Crédit photo : Thierry Ehrmann – Licence CC BY 2.0 | Informations^[*]

Complément :

La longueur d’onde du rouge est $\lambda_\textsf{rouge}=700 \ \mathrm{nm}$. La longueur d’onde du bleu est$\lambda_\textsf{bleu}=400 \ \mathrm{nm}$.

Question⚓

Q6. Déterminer la température d’un corps noir qui a pour longueur d’onde maximale le rouge, et celle pour le bleu.

Question⚓

Q7. Déterminer la puissance surfacique dans les deux cas précédents.

Donnée : la puissance surfacique est le quotient $p_\textsf{S}=\dfrac{P}{S}$

Question⚓

Q8. La photo de la 1ère partie est-elle en accord avec vos observations. Proposer une explication.

Question⚓

Q9. Répondre à la problématique de l’activité

🏋🏻 Partie n°4 : Application ⚓

🌌 Exercice n°1 : La température de Proxima du Centaure ⚓

Complément :

Proxima du Centaure est l'étoile la plus proche du Soleil bien qu'elle en soit éloignée de plus de 40 000 milliards de kilomètres ! De par sa couleur et sa température, Proxima du Centaure fait partie des étoiles dites de type M.

Son spectre d’émission est le suivant :

On donne la loi de Wien, reliant la température de surface d’un corps et la longueur d’onde de son maximum d’absorption :

\[\definecolor{grisRGB}{RGB}{225, 225, 225} {\fcolorbox{red}{grisRGB}{$ \begin{array}{rcl} \large{ \mathbf{ \lambda_\textsf{max} = \dfrac{2,899\times 10^{-3}}{T} }} \end{array} $}}\]

Question⚓

Q10. Exploiter cette loi et le document pour calculer la température à la surface de Proxima du Centaure.

Question⚓

Proxima du centaure satisfait le modèle du corps noir. La loi de Stefan-Boltzmann s’écrit alors : $P = S \times \sigma \times T^4$ avec $\sigma = 5,67\cdot 10^{-8} \ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}$ et $S$ l'aire de la surface extérieure de l’étoile.

Q11. En déduire la puissance surfacique rayonnée par Proxima du Centaure.

Donnée (Rappel) : la puissance surfacique est le quotient $p_\textsf{S}=\dfrac{P}{S}$

🔴 Exercice n°2 : Rayonnement par le corps humain ⚓

Dans cet exercice, on modélisera le corps humain comme un corps noir de température homogène $T$.

Question⚓

Q12. Rappeler la valeur de la température du corps humain et exprimer sa valeur $T$ en kelvin.

Question⚓

Q13. À l’aide de la loi de Wien, calculer la longueur d’onde correspondant au maximum d’émission par le corps humain. À quel domaine des ondes électromagnétiques correspond cette longueur d’onde ?

Question⚓

Q14. Vérifier le résultat précédent à l’aide du spectre d’émission donné ci-dessous.

☀️ Exercice n°3 : Le Soleil ⚓

Complément : 📄 Documents

Poopriétés géométriques d'une sphère :

Données concernant le Soleil :

\[\begin{array}{|l} \textsf{Rayon équatorial : } 6{,}955 \times 10^{5} \ \mathrm{km} \\[0.3cm] \textsf{Circonférence équatoriale : } 4{,}379 \times 10^{6} \ \mathrm{km} \\[0.3cm] \textsf{Masse : } 1{,}989 \times 10^{30} \ \mathrm{kg} \\[0.3cm] \textsf{Masse volumique : } 1{,}409 \ \mathrm{g \cdot cm^{-3}} \end{array}\]

Spectre d'émission du Soleil :

Question⚓

Q15. En considérant le Soleil comme un corps noir, calculez sa température de surface.

Question⚓

Q16. À l'aide de la loi de Stefan-Boltzmann, calculez la puissance surfacique du rayonnement solaire.

Question⚓

Q17. Déduisez des calculs précédents et de l'énoncé la puissance du rayonnement solaire.

Question⚓

Q18. Comparez la valeur obtenue avec la valeur théorique $P_\textsf{soleil, th}=3,85\times 10^{26}\ \mathrm{W}$.