Activité n°3 : Exercices - [Chapitre :Bilan d'énergie thermique avec changement d'état]

Complément : Données pour les exercices

Capacité thermique massique de l’eau :
- Solide : \(c_{\left(eau,s\right)}=2,060\ kJ.kg^{-1}.\mathrm{^\circ C}^{-1}\)
- Liquide : \(c_{\left(eau,\ell \right)}=4,180\ kJ.kg^{-1}.\mathrm{^\circ C}^{-1}\)

Énergie massique de fusion de l’eau : \(L_{fus}=3,35\cdot{10}^2\ \mathrm{kJ.kg^{-1}}\)
Énergie massique de solidification de l’eau : \(L_{sol}=-3,35\cdot{10}^2\ \mathrm{kJ.kg^{-1}}\)

Énergie massique de vaporisation de l’eau : \(L_{vap}=2,261\cdot{10}^3\ \mathrm{kJ.kg^{-1}}\)

Capacité thermique massique du fer solide : \(c_{fer}=450\ \mathrm{J.kg^{-1}}.\mathrm{^\circ C}^{-1}\)

Énergie massique de fusion du fer : \(L_{fusion\ fer}=\ 270\ \mathrm{kJ.kg^{-1}}\)

Température de fusion du fer : \(T_{fusion\ fer}=1\ 535\ \mathrm{^\circ C}\)

💪 Exercice n°1 ⚓

\(100\ \mathrm{g}\) de glace prise à \(-10\ \mathrm{^\circ C}\) sont chauffés dans un récipient. Le dispositif de chauffage à un rendement de \(\eta=80\ \%\) et sa puissance électrique est \(P=2,00\ \mathrm{kW}\). On coupe le chauffage lorsque toute la glace est fondue, l'eau de fusion étant à \(0\ \mathrm{^\circ C}\).

Question⚓

Q1. Calculer l’énergie thermique utile \(Q_{utile}\) à fournir pour réaliser cette opération.

Aide :

Le résultat à trouver est : \(Q_{utile}=35,6\ \mathrm{kJ}\)

Solution ⚓

Q1.

Pour réaliser cette opération, il faut d’abord élever la température de la glace de \(\theta_1=-10\ \mathrm{^\circ C}\) à \(\theta_2=-0\ \mathrm{^\circ C}\), la glace reçoit alors un transfert thermique \(Q_1=m\times c_{eau,\ s}\times\left(\theta_2-\theta_1\right)\).

Ensuite il faut faire fondre totalement cette masse de glace, à température constante, qui doit recevoir alors un transfert thermique \(Q_2=m\times L_{fus}\).

L’énergie thermique utile \(Q_{utile}\) à fournir vaut donc : \(Q_{utile}=Q_1+Q_2=m\times c_{eau,\ s}\times\left(\theta_2-\theta_1\right)+m\times L_{fus}\)

\(Q_{utile}=100\cdot{10}^{-3}\times2,060\cdot{10}^3\times\left(0-\left(-10\right)\right)+100\cdot{10}^{-3}\times3,35\cdot{10}^2\cdot{10}^3\)

\(Q_{utile}=35,6\cdot{10}^3\ \mathrm{J}=35,6\ \mathrm{kJ}\)

Question⚓

Q2. Calculer l’énergie totale absorbée \(W_{e \ell }\).

Aide :

Le résultat à trouver est : \(Q_{e\ell }=44,5\ \mathrm{kJ}\)

Solution ⚓

Q2.

L’énergie totale absorbée est l’énergie que le dispositif de chauffage doit absorber pour fournir une énergie utile \(Q\), ce qui avec le rendement \(\eta=80\ \%\) donne :

\(W_{e\ell }=\dfrac{Q_{utile}}{\eta}=\dfrac{35,6}{80\ \% }=44,5\ \mathrm{kJ}\)

Question⚓

Q3. Calculer la durée du chauffage \(\Delta t\).

Aide :

Le résultat à trouver est : \(\Delta t=22,3\ \mathrm{s}\)

Solution ⚓

Q3.

La puissance du dispositif de chauffage est \(P=2,00\ \mathrm{kW}\), donc la durée de chauffage est :

\(\Delta t=\dfrac{W_{e\ell}}{P}=\dfrac{44,5\cdot{10}^3}{2,00\cdot{10}^3}=22,3\ \mathrm{s}\)

💪 Exercice n°2 ⚓

Cent tonnes de ferrailles sont chauffées dans un four électrique afin d'obtenir du fer liquide à \(1\ 535\ \mathrm{^\circ C}\). La température initiale est \(20\ \mathrm{^\circ C}\). La durée de l'opération dure 5 heures et le rendement du four est de \(70\ \%\).

Question⚓

Q4. Calculer l’énergie thermique utile Q_{utile} à fournir pour réaliser cette opération.

Aide :

Le résultat à trouver est : \(Q_{utile}=95,2\ \mathrm{GJ}\)

Solution ⚓

Q4.

Pour réaliser cette opération, il faut d’abord élever la température du fer de \(\theta_1=20\ \mathrm{^\circ C}\) à \(\theta_2=1\ 535\ \mathrm{^\circ C}\), le fer reçoit alors un transfert thermique \(Q_1=m\times c_{fer}\times\left(\theta_2-\theta_1\right)\).
Ensuite il faut faire fondre totalement cette masse de fer, à température constante, qui doit recevoir alors un transfert thermique \(Q_2=m\times L_{fusion\ fer}\).
L’énergie thermique utile \(Q_{utile}\) à fournir vaut donc : \(Q_{utile}=Q_1+Q_2=m\times c_{fer}\times\left(\theta_2-\theta_1\right)+m\times L_{fusion\ fer}\)
\(Q_{utile}=100\cdot{10}^3\times450\times\left(1\ 535-20\right)+100\cdot{10}^3\times270\cdot{10}^3\)\(\)
\(Q_{utile}=95,2\cdot{10}^9\ \mathrm{J}=95,2\ \mathrm{GJ}\)

Question⚓

Q5. Calculer la puissance électrique du four.

Aide :

Le résultat à trouver est : \(P=37,8\ \mathrm{MW}\)

Solution ⚓

Q5.

L’énergie que va consommer le four est : \(W_{e \ell}=\dfrac{Q_{utile}}{\eta}=\dfrac{95,2}{70\ \%}=136\ \mathrm{GJ}\)
Il faut donc que la puissance du four soit : \(P=\dfrac{W_{e \ell}}{\Delta t}=\dfrac{136\cdot{10}^9}{5\times3600}=3,78\cdot{10}^7\ W=37,8\ \mathrm{MW}\)

💪 Exercice n°3 ⚓

Question⚓

Q6. Dans des conditions adiabatiques et si on suppose que le calorimètre n’intervient pas, déterminer la température du mélange obtenu à partir de \(50\ \mathrm{g}\) de glace à \(-20\ \mathrm{^\circ C}\) et \(100\ \mathrm{g}\) d’eau liquide à \(100\ \mathrm{^\circ C}\).

Aide :

Le résultat à trouver est : \(\theta_{eq}\ =36,7\ \mathrm{^\circ C} \).

Il faudra employer le raisonnement par étapes vue dans les activités et chapitre précédents.

Solution ⚓

Q6.

Le système étudié est {glace + eau liquide}.

Le système est isolé (conditions adiabatiques), donc \(\Delta U=0=\Delta U_1+\Delta U_2\).

Le sous-système glace va subir 3 transferts thermiques pour atteindre la température d’équilibre \(\theta_{eq}\) :

- La glace va recevoir un transfert thermique \(Q_1\) pour passer de \(\theta_1=-20\ \mathrm{^\circ C}\) à \(\theta_2=0\ \mathrm{^\circ C}\) :
  \(Q_1=m_{glace}\times c_{eau,\ s}\times\left(\theta_2-\theta_1\right)=50\cdot{10}^{-3}\times2,060\cdot{10}^3\times\left(0-\left(-20\right)\right)=2,06\cdot{10}^3\ \mathrm{J}\)
- La glace va recevoir un transfert thermique \(Q_2\) pour fondre totalement à température constante :
  \(Q_2=m_{glace}\times L_{fus}=50\cdot{10}^{-3}\times3,35\cdot{10}^2\cdot{10}^3=1,675\cdot{10}^4\ \mathrm{J}\)
- L’eau de fonte de la glace va recevoir un transfert thermique pour passer de \(\theta_2=0\ \mathrm{^\circ C}\) à \(\theta_{eq}\) :
  \(Q_3=m_{glace}\times c_{eau,\ \ell}\times\left(\theta_{eq}-\theta_2\right)=m_{glace}\times c_{eau,\ \ell}\times\theta_{eq}\)

On a donc \(\Delta U_1=Q_1+Q_2+Q_3\)

L’eau chaude va subir un transfert thermique \(Q_4\) pour passer de \(\theta_3=100\ \mathrm{^\circ C}\) à \(\theta_{eq}\) :
\(\Delta U_2=Q_4=m_{eau}\times c_{eau,\ \ell}\times\left(\theta_{eq}-\theta_3\right)\)

On a donc : \(\Delta U_1+\Delta U_2=0\ \Leftrightarrow\ Q_1+Q_2+Q_3+Q_4=0\)

\(Q_1+Q_2+m_{glace}\times c_{eau,\ \ell}\times\theta_{eq}+m_{eau}\times c_{eau,\ \ell}\times\left(\theta_{eq}-\theta_3\right)=0\)

\(m_{glace}\times c_{eau,\ \ell}\times\theta_{eq}+m_{eau}\times c_{eau,\ \ell}\times\left(\theta_{eq}-\theta_3\right)=-Q_1-Q_2\)

\(m_{glace}\ c_{eau,\ \ell}\ \theta_{eq}+m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}\ \theta_{eq}-m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}\ \theta_3=-Q_1-Q_2\)

\(\theta_{eq}\ \left(m_{glace}\ c_{eau,\ \ell}+m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}\right)=-Q_1-Q_2+m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}\ \theta_3\)

\(\theta_{eq}\ =\dfrac{-Q_1-Q_2+m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}\ \theta_3}{m_{glace}\ c_{eau,\ \ell}+m_{eau}\ c_{eau,\ \ell}}\)

\(\theta_{eq}\ =\dfrac{-2,06\cdot{10}^3-1,675\cdot{10}^4+100\cdot{10}^{-3}\times4,180\cdot{10}^3\times100}{50\cdot{10}^{-3}\times4,180\cdot{10}^3+100\cdot{10}^{-3}\times4,180\cdot{10}^3}\)

\(\theta_{eq}\ =36,7\ \mathrm{^\circ C}\)