Activité n°4 : Exercices d'application - [Chap. Quantité de matière et gaz parfaits]

📌 Quelques définitions à savoir (Rappels)⚓

Définition : 📌 L’équation d’état des gaz parfait est :

\[ {\fcolorbox{red}{white}{$ {\Large \ \ \ \mathbf{ P\times V=n\times R\times T } \ \ \ } $}}\]

Où $\mathrm{R}$ est La constante des gaz parfaits valant : $\mathrm{R}=8,314\ \mathrm{USI}$

Définition : 📌

Le gaz parfait est un modèle. Pour un gaz réel, $\mathbf{P \times V \approx n \times R \times T}$ si la pression est faible et si la température n’est pas trop basse.

Dans les conditions habituelles de température et de pression, l’air (mélange de gaz) se comporte comme un gaz parfait.

Définition : 📌 Définition d’un mélange idéal

Un mélange de gaz parfait est dit idéal quand toutes les particules (qu’elles soient identiques ou non) ne subissent que des chocs élastiques et aucune autre interaction. La pression totale d’un mélange ne dépend alors pas de la nature des gaz présents, mais uniquement de la quantité totale de matière.

\[n_{total}=\displaystyle \sum_{i}^{} n_i=n_1+n_2+n_3+\ldots+n_i\]

\[\mathbf{ P\times V=n_\text{total}\times R\times T }\]

Complément : 📄 Comment calculer une quantité de matière - [Document n°1]

Pour calculer une quantité de matière à partir d’une masse, il faut appliquer la formule suivante :

\[\begin{array}{lcl} {\fcolorbox{red}{white}{$ {\Large \ \ \ \mathbf{ n=\dfrac{m}{M} } \ \ \ } $}} & \large \text{ avec :} & \begin{cases} {\large\ \mathbf{n}\ \text{ :} } & {\large \text{quantité de matière en } \mathbf{mol} }\\ {\large\ \mathbf{m}\ \text{ :} } & {\large \text{la masse du corps en } \mathbf{g} } \\ {\large\ \mathbf{M}\ \text{ :} } & {\large \text{la masse molaire } \mathbf{g.mol^{-1}} } \end{cases} \\ \large \text{Ou encore :} & {\fcolorbox{red}{white}{$ {\Large \ \ \ \mathbf{ m=n\times M } \ \ \ } $}} \\ \end{array}\]

Complément : 📄 La masse molaire - [Document n°2]

La masse molaire atomique est la masse d’une mole de cet atome. Les masses molaires atomiques sont en général fournies, comme celles-ci :

Atome	Hydrogène	Carbone	Azote	Oxygène	Sodium	Chlore
Symbole	$\ce{H}$	$\ce{C}$	$\ce{N}$	$\ce{O}$	$\ce{Na}$	$\ce{C\ell}$
Masse molaire atomique $\mathbf{\left(en\ g.mol^{-1}\right)}$	$1,0$	$12,0$	$14,0$	$16,0$	$23,0$	$35,5$

Lorsqu’on a affaire à une molécule on parle de masse molaire moléculaire. C’est la masse d’une mole de molécule.
Elle se calcule en effectuant la somme des masses molaires atomiques de tous les atomes constituant la molécule. Elle s’exprime en $\mathrm{g.mol^{-1}}$. (Voir les exemples ci-dessous).

Comment calculer la masse molaire d'une molécule avec trois exemples ?
Molécule	Eau	Glucose	Butane
Formule	$\ce{H_2O}$	$\ce{C6H12O6}$	$\ce{C4H10}$
Masse molaire moléculaire $\mathbf{\left( \ g.mol^{-1}\right)}$	$M_{H_2O}=2\times M_H+M_O$ $M_{H_2O}=2\times1,0+16,0$ $M_{H_2O}=18,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$	$M_{glucose}=6\times M_C+12\times M_H+6\times M_O$ $M_{glucose}=6\times12,0+12\times1,0+6\times16,0$ $M_{glucose}=180,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$	$M_{C_4H_{10}}=4\times M_C+10\times M_H$ $M_{C_4H_{10}}=4\times12,0+10\times1,0$ $M_{C_4H_{10}}=58,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$

🏋️‍♂️ Exercices d’entrainement et d’application ⚓

💪 Exercice n°1 ⚓

Soit un mélange de gaz considérés comme parfait constitué de $10,0\ \mathrm{g}$ de dioxygène $\ce{O_2}$, de $40,0\ \mathrm{g}$ de diazote $\ce{N_2}$ et de $12,0\ \mathrm{g}$ de dioxyde de carbone $\ce{CO_2}$, occupant un volume total de $50\ \mathrm{L}$.

Question⚓

Q1. Calculer la pression de ce mélange lorsque la température sera de 20 °C, et lorsqu’elle sera de 100 °C.

Aide : Calculer d'abord les masses molaire moléculaires, puis les quantités de matières, puis la quantité de matière totale. Et enfin, la pression.

$P_{20}=98,0\ \mathrm{kPa} \hspace{20mm} P_{100}=1,25\cdot{10}^5\ \mathrm{Pa}$

Solution ⚓

E1.Q1.

Pour appliquer la loi des gaz parfaits, $P\times V=n_{total}\times R\times T$, il faut calculer la quantité de matière totale en gaz présent dans le mélange.

Il nous faut également les masses molaires des molécules :

$M_{O_2}=2\times M_O=2\times16,0=32,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$
$M_{N_2}=2\times M_N=2\times14,0=28,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$
$M_{{CO}_2}=M_C+2\times M_O=12,0+2\times16,0=44,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$

$n_{total}=n_{O_2}+n_{N_2}+n_{{CO}_2}=\dfrac{m_{O_2}}{M_{O_2}}+\dfrac{m_{N_2}}{M_{N_2}}+\dfrac{m_{{CO}_2}}{M_{{CO}_2}}$

$n_{total}=\dfrac{10,0}{32,0}+\dfrac{40,0}{28,0}+\dfrac{12,0}{44,0}=2,01\ \mathrm{mol}$

Pour une température de 20 °C, c’est-à-dire $20+273=293\ \mathrm{K}$, la pression de ce mélange de gaz sera :
$P=\dfrac{n_{total}\times R\times T}{V}$
$P=\dfrac{2,01\times8,314\times\left(20+273\right)}{50\cdot{10}^{-3}}=98,0\ \mathrm{kPa}$
Pour une température de 100 °C, c’est-à-dire $20+273=293\ \mathrm{K}$, la pression de ce mélange de gaz sera :
$P=\dfrac{n_{total}\times R\times T}{V}$
$P=\dfrac{2,01\times8,314\times\left(100+273\right)}{50\cdot{10}^{-3}}$
$P=1,25\cdot{10}^5\ \mathrm{Pa}$

Question⚓

Q2. On fixe maintenant la pression à $1\ 013\ \mathrm{hPa}$ et la température à $110\ \mathrm{^\circ C}$. Quel sera le volume occupé par ce mélange de gaz ?

Aide : $V=63,2\ \mathrm{L}$.

Solution ⚓

E1.Q2.

$V=\dfrac{n_{total}\times R\times T}{P}$

$V=\dfrac{2,01\times8,314\times\left(110+273\right)}{1013\cdot{10}^2}$

$V=0,0632\ \ m^3=63,2\ \mathrm{L}$

Question⚓

Q3. À quelle température sera le mélange sous $350\ \mathrm{mbar}$ avec un volume de $50\ \mathrm{L}$ ?

Aide : $T=105\ \mathrm{K}$.

Solution ⚓

E1.Q3.

$T=\dfrac{P\times V}{n_{total}\times R}$

$T=\dfrac{350\cdot{10}^{-3}\cdot{10}^5\times50\cdot{10}^{-3}}{2,01\times8,314}$

$T=105\ \mathrm{K}$

Q1. Quels sont les rôles d’un manomètre et d’un détendeur ?

Solution ⚓

E3.Q1.

Le manomètre permet de mesurer la pression d’un gaz et le détendeur permet de détendre le gaz.
Il abaisse la pression du gaz comprimé à la pression atmosphérique.
Si le manomètre est placé avant le détendeur, il mesure la pression du gaz à l’intérieur de la bouteille.
Si le manomètre est placé après le détendeur, il mesure la pression du gaz à la sortie de la bouteille.

Question⚓

Q2. Le contenu de la bouteille a une masse de $12\ \mathrm{kg}$. Quelle est la quantité de matière correspondante ?

Aide : Que vaut la masse molaire moléculaire ? Calculer alors la quantité de matière. $n=207\ \mathrm{mol}$

Solution ⚓

E3.Q2.

La masse molaire du butane est :

$\hspace{10mm}M_{butane}=4\times M_C+12\times M_H=4\times12,0+4\times1,00$

$\hspace{10mm}M_{butane}=58,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$

$\hspace{10mm}M_{butane}=58{,}0\ \mathrm{g.mol^{-1}}$

La quantité de matière de butane est :

$\hspace{10mm}n=\dfrac{m}{M}=\dfrac{12\cdot{10}^3}{58,0}=2{,}07\cdot{10}^2\ \mathrm{mol}$

Question⚓

Q3. En admettant que la totalité du contenu de la bouteille puisse être utilisée sous forme de butane gazeux à 20 °C et à la pression atmosphérique de ${10}^5\ \mathrm{Pa}$, quel est le volume de gaz disponible ?

Aide : $V=5,04\ \mathrm{m^3}$.

Solution ⚓

E3.Q3.

$V=\dfrac{n\times R\times T}{P}=\dfrac{2,07\cdot{10}^2\times8,314\times\left(20+273\right)}{{10}^5}$

$V=5,04\ \mathrm{m^3}$

Atome	Hydrogène	Carbone	Azote	Oxygène	Sodium	Chlore
Symbole	\(\ce{H}\)	\(\ce{C}\)	\(\ce{N}\)	\(\ce{O}\)	\(\ce{Na}\)	\(\ce{C\ell}\)
Masse molaire atomique \(\mathbf{\left(en\ g.mol^{-1}\right)}\)	\(1,0\)	\(12,0\)	\(14,0\)	\(16,0\)	\(23,0\)	\(35,5\)

Molécule	Eau	Glucose	Butane
Formule	\(\ce{H_2O}\)	\(\ce{C6H12O6}\)	\(\ce{C4H10}\)
Masse molaire moléculaire \(\mathbf{\left( \ g.mol^{-1}\right)}\)	\(M_{H_2O}=2\times M_H+M_O\) \(M_{H_2O}=2\times1,0+16,0\) \(M_{H_2O}=18,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}\)	\(M_{glucose}=6\times M_C+12\times M_H+6\times M_O\) \(M_{glucose}=6\times12,0+12\times1,0+6\times16,0\) \(M_{glucose}=180,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}\)	\(M_{C_4H_{10}}=4\times M_C+10\times M_H\) \(M_{C_4H_{10}}=4\times12,0+10\times1,0\) \(M_{C_4H_{10}}=58,0\ \mathrm{g.mol^{-1}}\)