🔢 Les chiffres significatifs [Fiche Méthode n°1 : La notation scientifique et les chiffres significatifs]

🔢 Les chiffres significatifs⚓

Méthode : Règle d'écriture

Soit deux nombres quelconques (on choisit 0,01200700 et 400) :

Remarque :

Exceptionnellement, les zéros à droite, mais qui précèdent la virgule (cas ici de 400), peuvent être ou ne pas être significatifs. Ils peuvent être là simplement pour permettre de situer la virgule (situer l'ordre de grandeur^[*] du nombre). Par exemple, le nombre 300 pourrait comporter de un à trois chiffres significatifs (ça dépend de l'auteur, mais ça laisse place à l'ambiguïté).

La notation scientifique permet d'éviter cette ambiguïté !

\(4,00\cdot{10}^2\) comporte 3 chiffres significatifs ; s'il n'y en a qu'un, on écrira plutôt \(4\cdot{10}^2\).

Méthode : Règle de calcul

Addition et soustraction :
Le résultat a autant de décimales (même précision) que la donnée qui est la moins précise. On arrondit le dernier chiffre conservé en fonction du suivant. Un nombre entier est considéré comme ayant une infinité de chiffres significatifs.
Exemple :
On garde une seule décimale car « 3,7 » n'en possède qu'une.

Multiplication et division :
Le résultat a autant de chiffres significatifs que la donnée qui en comporte le moins. On arrondit le dernier chiffre conservé en fonction du suivant.
Exemple :
On garde seulement 2 chiffres significatifs car « 3,7 » n'en possède que deux.

🧮 Petits exemples pour comprendre ⚓

Question⚓

Q8. Donner le résultat des calculs suivants en tenant compte des chiffres significatifs.

\[\begin{array}{lll} {\large { \mathrm{a. } \text{ } }} & {\large { 12,25 + 10,1 - 25,4 }} \\ {\large { \mathrm{b. } \text{ } }} & {\large { 2\times{10}^2 + 5,54 \times{10}^2 }} \\ {\large { \mathrm{c. } \text{ } }} & {\large { \dfrac{1,123}{0,0015} \times 10\ 000 }} \\ {\large { \mathrm{d. } \text{ } }} & {\large { 12,25 + 10,1 + 15,4 \times 3,1 }} \end{array}\]

Solution ⚓

FM1-Q8.

\[\begin{array}{lll} {\large { \mathrm{a. } \text{ } }} & {\large { 12,25 + 10,1 - 25,4 }} & {\large {\color{blue} = -3,1 }} \\ {\large { \mathrm{b. } \text{ } }} & {\large { 2\times{10}^2 + 5,54 \times{10}^2 }} & {\large {\color{blue} = 8 \times{10}^2 }} \\ {\large { \mathrm{c. } \text{ } }} & {\large { \dfrac{1,123}{0,0015} \times 10\ 000 }} &{\large {\color{blue} = 7,5\cdot 10^6 }} \\ {\large { \mathrm{d. } \text{ } }} & {\large { 12,25 + 10,1 + 15,4 \times 3,1 }} & {\large {\color{blue} = 22,35 + 48 = 70 }} \end{array}\]

📐Importance de la précision ⚓

Question⚓

Dans un futur plus ou moins proche, un vaisseau cargo a décollé de la Terre pour ravitailler une base Lunaire.

L'ESA (Agence Spatiale Européenne) a besoin de connaître précisément la durée du trajet afin de calibrer correctement la quantité de carburant nécessaire et de dioxygène pour les astronautes présents dans le cargo.

La distance Terre-Lune a été estimée avec précision à : \({\large { d_{\mathrm{T-L}}=378\ 400 \ \mathrm{km} }}\).

La vitesse moyenne du vaisseau cargo sera de \({\large { v_{\mathrm{cargo}}=24\ 900 \ \mathrm{km/h} }}\).

Q9. (APP) Donner la valeur de la distance Terre-Lune et la vitesse du cargo avec un seul chiffre significatif.

Solution ⚓

FM1-Q9.

Avec un seul CS :

\({\large { d_{\mathrm{T-L}}=4\cdot 10^5 \ \mathrm{km} }}\)
\({\large { v_{\mathrm{cargo}}=2\cdot 10^4 \ \mathrm{km/h} }}\)

Question⚓

Q10. (RÉA) Calculer alors (avec ces deux valeurs à 1 CS) la durée du trajet aller puis d'un aller-retour. (Faire attention au nombre de CS du résultat, voir les règles précédentes).

Solution ⚓

FM1-Q10.

Pour un aller simple :

\[\begin{array}{lll} {\large { v_{\mathrm{cargo}}=\dfrac{d_{\mathrm{T-L}} }{\Delta t } }} & \Longleftrightarrow & {\large { \Delta t=\dfrac{d_{\mathrm{T-L}} }{v_{\mathrm{cargo}} } }} \\ & \Longleftrightarrow & {\large { \Delta t=\dfrac{4\cdot 10^5 }{2\cdot 10^4 } }} \\ & \Longleftrightarrow & {\large {\Delta t= \color{blue} 2 \cdot 10^1\ \mathrm{h} = \color{red} 20 \ \mathrm{h} }} \end{array}\]

Pour un aller-retour : \({\large { \Delta t_\mathrm{AR}=2\times 2 \cdot 10^1=4 \cdot 10^1 = 40\ \mathrm{h} }}\)

Question⚓

Q11. (APP/RÉA) Refaire le même calcul en gardant tous les CS des données de l'énoncé.

Solution ⚓

FM1-Q11.

Pour un aller simple :

\[\begin{array}{lll} {\large { v_{\mathrm{cargo}}=\dfrac{d_{\mathrm{T-L}} }{\Delta t' } }} & \Longleftrightarrow & {\large { \Delta t'=\dfrac{d_{\mathrm{T-L}} }{v_{\mathrm{cargo}} } }} \\ & \Longleftrightarrow & {\large { \Delta t'=\dfrac{378\ 400 }{24\ 900 } }} \\ & \Longleftrightarrow & {\large {\Delta t'= \color{blue} 1,5197\cdot 10^1\ \mathrm{h} =15,197\ \mathrm{h} }} \end{array}\]

Pour un aller-retour : \({\large { \Delta t'_\mathrm{AR}=2\times 15,197=30,394\ \mathrm{h} }}\)

Question⚓

Q12. (COM) Commenter ces différences entre les deux questions précédentes.

Solution ⚓

Glossaire

Grandeur physique
Une grandeur physique est un ensemble d'unités de mesure, de variables, d'ordres de grandeur et de méthodes de mesure (qui sont l'objet de la métrologie) lié à un aspect ou phénomène particulier de la physique. Par exemple, la grandeur longueur regroupe tout ce qui concerne les distances.
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L'addition et la soustraction sont seulement possible entre données de même grandeur. En revanche, il est possible de multiplier ou de diviser des grandeurs différentes, auquel cas on obtient une nouvelle grandeur dérivée des deux autres.
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Par exemple, la vitesse est issue de la division de la longueur par le temps. Il existe donc théoriquement une infinité de grandeurs, mais seul un certain nombre d'entre elles sont utilisées dans la pratique. Le domaine de la physique qui traite des relations entre les grandeurs est l'analyse dimensionnelle.
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Source et plus d'informations : https://www.techno-science.net/definition/1695.html
Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur est un nombre qui représente de façon simplifiée mais approximative la mesure d'une grandeur physique^[*]. Ce nombre, le plus souvent une puissance de 10, est utilisé notamment pour communiquer sur des valeurs très grandes ou très petites, comme le diamètre du système solaire ou la charge d'un électron.
L'ordre de grandeur se mémorise plus facilement qu'une valeur précise et suffit pour de nombreux usages. Il est également utile dans les domaines intermédiaires pour situer la taille d'un objet ou pour choisir la gamme d'appareils de mesure à lui appliquer.
L'ordre de grandeur d'une valeur est sa plus proche puissance de 10.
Plus d'info : https://fr.wikipedia.org/wiki/Ordre_de_grandeur

Nombre	\({\large {7\ 000}}\)	\({\large {12,34}}\)	\({\large {0,490}}\)	\({\large {0,042}}\)	\({\large {1,2345\ \cdot 10^{-1}}}\)	\({\large {0,00012001000}}\)
Nombre de C.S.	4	4	3	2	5	8

Fiche Méthode n°1 : La notation scientifique et les chiffres significatifs